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線形代数
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.. highlight:: cpp

行列要素の四則演算を行う
========================

サイズや要素の型が異なる配列の場合，要素同士の演算はできません．
例外発生時のメッセージは，OpenCV のバージョンによって異なります．

.. literalinclude:: code/cpp/sample_mat_elem_arith_op.cpp

実行結果：

.. literalinclude:: output/cpp/sample_mat_elem_arith_op.txt

行列同士の積を求める
=====================

前述の行列の「要素同士の積」とは異なり，* 演算子を利用すると，行列積を計算することができます．
また，2チャンネルの行列は複素行列とみなされ，その積も複素行列積になることに注意してください．

.. literalinclude:: code/cpp/sample_mat_product.cpp

実行結果：

.. literalinclude:: output/cpp/sample_mat_product.txt


cv::Vecの内積と外積
===================

.. literalinclude:: code/cpp/sample_vec_product.cpp

実行結果：

.. literalinclude:: output/cpp/sample_vec_product.txt



ノルムを求める
==============

cv::Matやstd::vectorに対するL-2ノルムを計算します．
また，Eigen::Matrix型に変換することで，任意のL-pノルムを簡単に求めることができます．

.. literalinclude:: code/cpp/sample_vector_norm.cpp

実行結果：

.. literalinclude:: output/cpp/sample_vector_norm.txt


行列式を求める
==============

要素の型が CV_32FC1 または CV_64FC1 の正方行列の，行列式を求めます．

.. literalinclude:: code/cpp/sample_mat_determinant.cpp

実行結果：

.. literalinclude:: output/cpp/sample_mat_determinant.txt

行列の転置
==========

複素行列の転置は，共役転置行列（ `随伴行列 <http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9A%8F%E4%BC%B4%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0>`_ ）にはなりません．

.. literalinclude:: code/cpp/sample_mat_transpose.cpp

実行結果：

.. literalinclude:: output/cpp/sample_mat_transpose.txt


.. _mat_diag:

行列の対角成分を取り出す
========================

2次元以外の Mat では， `対角成分 <http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E8%A7%92%E6%88%90%E5%88%86>`_ を取り出すことはできません．

.. literalinclude:: code/cpp/sample_diag.cpp

実行結果：

.. literalinclude:: output/cpp/sample_diag.txt


.. _mat_trace:

行列のトレースを求める
========================

2次元以外の Mat では， `トレース <http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%88%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%82%B9_(%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)>`_ を求めることはできません．

シングルチャンネル行列のトレース
----------------------------------

.. literalinclude:: code/cpp/sample_trace.cpp

実行結果：

.. literalinclude:: output/cpp/sample_trace.txt

マルチチャンネル行列のトレース
----------------------------------

2チャンネル行列の場合，要素は複素数として扱われ，実数部と虚数部のトレースが求められます．

.. マルチチャンネル行列の場合，各チャンネル毎にトレースが求められます．

.. literalinclude:: code/cpp/sample_trace_multi.cpp

実行結果：

.. literalinclude:: output/cpp/sample_trace_multi.txt

.. _mat_inverse:

逆行列/疑似逆行列を求める
=========================

逆行列，あるいは疑似逆行列を求めます．

.. literalinclude:: code/cpp/sample_inv_mat.cpp

実行結果：

.. literalinclude:: output/cpp/sample_inv_mat.txt

.. _cart2poalr:

2次元ベクトルの角度と大きさを求める
===================================


.. literalinclude:: code/cpp/sample_cart2polar.cpp

実行結果：

.. literalinclude:: output/cpp/sample_cart2polar.txt

.. _polar2cart:

角度と大きさから2次元座標を求める
===================================

.. literalinclude:: code/cpp/sample_polar2cart.cpp

実行結果：

.. literalinclude:: output/cpp/sample_polar2cart.txt

.. _mat_flip:

行列を反転する
==============

2次元以外の Mat では，flipを利用した反転行列を求めることはできません．

シングルチャンネル行列の反転
----------------------------

.. literalinclude:: code/cpp/sample_mat_flip.cpp

実行結果：

.. literalinclude:: output/cpp/sample_mat_flip.txt


マルチチャンネル行列の反転
---------------------------

マルチチャンネル行列の場合は，各チャンネル毎に反転が行われます．
チャンネルの順番が入れ替わることはありません．

.. literalinclude:: code/cpp/sample_multich_mat_flip.cpp

実行結果：

.. literalinclude:: output/cpp/sample_multich_mat_flip.txt


行列要素の最小値・最大値を求める
=================================

行列要素の最小値・最大値，およびそれの位置を求めます．（例えば，最大値だけが必要で，最小値が不要な場合など）求める必要がないパラメータには NULL を渡すこともできます．
また，マスクを利用して，限定された範囲内の最小値・最大値を求めることも可能です．


シングルチャンネル行列の最小値・最大値
--------------------------------------

``minMaxLoc`` に渡せる行列はシングルチャンネルのみです．つまり，1つのチャンネルの最大値のみを求めることができます．しかし，reshape() メソッドを利用することで，すべてのチャンネルの中で最大の値を求めることもできます．

.. literalinclude:: code/cpp/sample_minmaxloc.cpp

実行結果：

.. literalinclude:: output/cpp/sample_minmaxloc.txt

.. マルチチャンネル行列の最小値・最大値
.. ------------------------------------


.. 多次元行列の最小値・最大値
.. --------------------------

2次元点集合間の最適なアフィン変換を推定する
================================================

2つの2次元点集合間の最適な2次元のアフィン変換を推定します．
パラメータを指定することにより，並進，回転，等方スケーリングに制限されたアフィン変換（5自由度）を推定することもできます．

:ref:`image_affine_transform` も参照してください．

.. literalinclude:: code/cpp/sample_estimate_rigidtransform.cpp

実行結果：

.. literalinclude:: output/cpp/sample_estimate_rigidtransform.txt

水色：入力点集合1，赤色：入力点集合2：
集合1から集合2へのアフィン変換を推定します．

緑色の円：制限されたアフィン変換による変換後の点，黄色の円：任意のアフィン変換による変換後の点，

.. image:: image/sample_rigidtransform.png
   :scale: 30%


連立1次方程式を解く
====================

cv::solve() を利用する場合，右辺，左辺の係数を格納する行列の型は共に，32Fまたは64Fである必要があります．

非特異系
----------

独立した方程式の数が変数の数に等しく，行列式がゼロではない場合で，一意な解が存在します．

.. math::
   :nowrap:   

   \begin{displaymath}
   \left\{
   \begin{array}{l}
   x + y + z = 6 \\
   3x + 2y - 2z = 1 \\
   2x - y + 3z = 9
   \end{array}
   \right.
   \end{displaymath}

.. literalinclude:: code/cpp/sample_linear_system.cpp

実行結果：

.. literalinclude:: output/cpp/sample_linear_system.txt


.. 劣決定系
.. --------------
.. 
.. 方程式の数が変数の数より小さい場合で，解は複数存在します．


優決定系
--------------

方程式の数が変数の数より大きい場合で，解は存在しない可能性がありますが，OpenCVでは最小二乗問題を解くことになります．

.. math::
   :nowrap:   

   \begin{displaymath}
   \left\{
   \begin{array}{l}
   x + y = 3 \\
   3x + 4y = 8 \\
   -x - 2y = 2
   \end{array}
   \right.
   \end{displaymath}

.. literalinclude:: code/cpp/sample_linear_system_OD.cpp

実行結果：

.. literalinclude:: output/cpp/sample_linear_system_OD.txt

特異値分解を行う
=================

特異値分解を行います．
特異値分解の実装は，OpenCV-2.3で，Lapackを利用しないものに変更されました．
しかし，2.3，2.3.1 では，入力行列 A を直接変更する（ことで，多少の速度向上とメモリ節約が見込まれる）オプションフラグ
``SVD::MODIFY_A`` フラグを利用することができません．

.. literalinclude:: code/cpp/sample_svd.cpp

実行結果：

.. literalinclude:: output/cpp/sample_svd.txt